Ejercicios Resueltos de Binomio al Cubo

Escribimos la plantilla del producto notable para la suma, identificando de manera directa que el primer término es \( x \) y el segundo es \( 2 \):

\[ (x)^3 + 3(x)^2(2) + 3(x)(2)^2 + (2)^3 \]

Resolvemos las potencias numéricas (\( 2^2 = 4 \) y \( 2^3 = 8 \)) antes de calcular los coeficientes finales:

\[ x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(4) + 8 \]

Resultado final: \[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]

Aplicamos el patrón de signos alternados (\( +, -, +, - \)) que dicta la fórmula de la resta:

\[ (a)^3 - 3(a)^2(3) + 3(a)(3)^2 - (3)^3 \]

Desarrollamos los bloques de manera correlativa analítica:

\[ a^3 - 3(a^2)(3) + 3(a)(9) - 27 \]

Resultado final: \[ a^3 - 9a^2 + 27a - 27 \]

El término inicial es \( 2m \). Al elevarlo a potencias, recuerda que el exponente afecta tanto al número como a la letra (\( (2m)^3 = 8m^3 \) y \( (2m)^2 = 4m^2 \)):

\[ (2m)^3 + 3(2m)^2(1) + 3(2m)(1)^2 + (1)^3 \]

Sustituimos los desarrollos de los cuadrados intermedios:

\[ 8m^3 + 3(4m^2)(1) + 3(2m)(1) + 1 \]

Resultado final: \[ 8m^3 + 12m^2 + 6m + 1 \]

Estructuramos la cadena siguiendo la regla de binomio al cubo con resta:

\[ (y)^3 - 3(y)^2(5) + 3(y)(5)^2 - (5)^3 \]

Evaluamos los valores de las potencias altas (\( 5^2 = 25 \) y \( 5^3 = 125 \)):

\[ y^3 - 15y^2 + 3(y)(25) - 125 \]

Resultado final: \[ y^3 - 15y^2 + 75y - 125 \]

Planteamos los cuatro términos de la plantilla protegiendo cada monomio compuesto:

\[ (3b)^3 + 3(3b)^2(2c) + 3(3b)(2c)^2 + (2c)^3 \]

Resolvemos con cautela las potencias cuadráticas y cúbicas de los coeficientes:

\[ 27b^3 + 3(9b^2)(2c) + 3(3b)(4c^2) + 8c^3 \]

Multiplicamos los números restantes en los términos centrales:

Resultado final: \[ 27b^3 + 54b^2c + 36bc^2 + 8c^3 \]

Al elevar la variable \( z^2 \) a las potencias de la fórmula, multiplicamos los exponentes de forma lineal (\( (z^2)^3 = z^6 \) y \( (z^2)^2 = z^4 \)):

\[ (z^2)^3 - 3(z^2)^2(4) + 3(z^2)(4)^2 - (4)^3 \]

Reducimos los componentes numéricos fijos:

\[ z^6 - 3(z^4)(4) + 3(z^2)(16) - 64 \]

Resultado final: \[ z^6 - 12z^4 + 48z^2 - 64 \]

Escribimos la ecuación estructural asegurando la protección de cada bloque monómico:

\[ (2x^3)^3 + 3(2x^3)^2(3y^2) + 3(2x^3)(3y^2)^2 + (3y^2)^3 \]

Desarrollamos de forma prioritaria absoluta todas las potencias de la línea:

\[ 8x^9 + 3(4x^6)(3y^2) + 3(2x^3)(9y^4) + 27y^6 \]

Multiplicamos los coeficientes de los términos del medio para finalizar:

Resultado final: \[ 8x^9 + 36x^6y^2 + 54x^3y^4 + 27y^6 \]

Planteamos los términos alternando los signos según corresponde a la sustracción:

\[ (10n)^3 - 3(10n)^2(1) + 3(10n)(1)^2 - (1)^3 \]

Calculamos los valores cúbicos y cuadrados de la base diez (\( 10^3 = 1000 \) y \( 10^2 = 100 \)):

\[ 1000n^3 - 3(100n^2)(1) + 3(10n)(1) - 1 \]

Resultado final: \[ 1000n^3 - 300n^2 + 30n - 1 \]

Sustituimos con orden dentro de la plantilla aditiva. Elevamos la fracción al cubo y al cuadrado multiplicando sus componentes:

\[ \left({\Large \tfrac{1}{3}}a\right)^3 + 3\left({\Large \tfrac{1}{3}}a\right)^2(3) + 3\left({\Large \tfrac{1}{3}}a\right)(3)^2 + (3)^3 \]

Desarrollamos los bloques de potencias independientes:

\[ {\Large \tfrac{1}{27}}a^3 + 3\left({\Large \tfrac{1}{9}}a^2\right)(3) + 3\left({\Large \tfrac{1}{3}}a\right)(9) + 27 \]

Efectuamos las simplificaciones de las fracciones del medio (\( 3 \cdot {\Large \frac{1}{9}} \cdot 3 = {\Large \frac{9}{9}} = 1 \) y \( 3 \cdot {\Large \frac{1}{3}} \cdot 9 = 9 \)):

Resultado final: \[ {\Large \tfrac{1}{27}}a^3 + a^2 + 9a + 27 \]

Planteamos el desarrollo completo aplicando la fórmula con signos alternados:

\[ \left({\Large \tfrac{2}{5}}c^2\right)^3 - 3\left({\Large \tfrac{2}{5}}c^2\right)^2\left({\Large \tfrac{1}{2}}\right) + 3\left({\Large \tfrac{2}{5}}c^2\right)\left({\Large \tfrac{1}{2}}\right)^2 - \left({\Large \tfrac{1}{2}}\right)^3 \]

Resolvemos todas las potencias fraccionarias de la línea de forma minuciosa:

\[ {\Large \tfrac{8}{125}}c^6 - 3\left({\Large \tfrac{4}{25}}c^4\right)\left({\Large \tfrac{1}{2}}\right) + 3\left({\Large \tfrac{2}{5}}c^2\right)\left({\Large \tfrac{1}{4}}\right) - {\Large \tfrac{1}{8}} \]

Multiplicamos de forma lineal las fracciones de los bloques centrales:

• Segundo término: \( {\Large \frac{3 \cdot 4 \cdot 1}{25 \cdot 2}} = {\Large \frac{12}{50}} \rightarrow \) Simplificado es \( {\Large \frac{6}{25}}c^4 \)
• Tercer término: \( {\Large \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4}} = {\Large \frac{6}{20}} \rightarrow \) Simplificado es \( {\Large \frac{3}{10}}c^2 \)

Resultado final: \[ {\Large \tfrac{8}{125}}c^6 - {\Large \tfrac{6}{25}}c^4 + {\Large \tfrac{3}{10}}c^2 - {\Large \tfrac{1}{8}} \]