Ejercicios Resueltos de Sistemas de Ecuaciones 3x3
Un sistema 3x3 está formado por tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (habitualmente x, y, z). Aunque parece más complejo que un sistema 2x2, el secreto consiste en reducir progresivamente el problema aplicando los métodos que ya conoces de forma organizada.
¿Cómo Resolver un Sistema 3x3 Paso a Paso?
El método más eficiente y directo para resolver estos sistemas es la reducción encadenada. La meta es transformar el sistema de 3 incógnitas en uno más pequeño de 2 incógnitas, y finalmente en una ecuación de primer grado simple.
Estrategia General de Resolución
- Paso 1 (Elegir y Reducir): Selecciona dos pares de ecuaciones (por ejemplo, la 1 con la 2, y la 1 con la 3) y elimina la misma incógnita en ambos pares usando el método de reducción.
- Paso 2 (Formar el Sistema 2x2): Las dos nuevas ecuaciones obtenidas solo tendrán dos incógnitas. Resuelve este nuevo sistema 2x2 para encontrar los valores de esas dos variables.
- Paso 3 (Hallar la Tercera Incógnita): Sustituye los dos valores encontrados en cualquiera de las ecuaciones originales de 3x3 para despejar la incógnita restante.
Ejemplo Guiado Paso a Paso
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \quad \text{--- (1)} \\ 2x - y + z = 3 \quad \text{--- (2)} \\ x + 2y - z = 2 \quad \text{--- (3)} \end{cases} \]
Paso 1: Eliminar la variable \(z\) usando dos pares de ecuaciones.
Primero sumamos la Ecuación (1) y la Ecuación (3) porque \(z\) y \(-z\) se cancelan directamente:
\[ (x + y + z) + (x + 2y - z) = 6 + 2 \]
\[ \implies 2x + 3y = 8 \quad \text{--- (A)} \]
Ahora restamos la Ecuación (1) menos la Ecuación (2) para eliminar \(z\) nuevamente:
\[ (x + y + z) - (2x - y + z) = 6 - 3 \]
\[ \implies -x + 2y = 3 \quad \text{--- (B)} \]
Paso 2: Resolver el sistema 2x2 formado por (A) y (B).
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ -x + 2y = 3 \end{cases} \]
Multiplicamos la ecuación (B) por \(2\):
\[ 2(-x + 2y = 3) \]
\[ \implies -2x + 4y = 6 \]
Sumamos con (A):
\[ (2x - 2x) + (3y + 4y) = 8 + 6 \]
\[ \implies 7y = 14 \implies y = 2 \]
Sustituimos \(y = 2\) en la ecuación (B):
\[ -x + 2(2) = 3 \implies -x + 4 = 3 \]
\[ \implies -x = -1 \implies x = 1 \]
Paso 3: Encontrar la variable restante (\(z\)).
Sustituimos \(x = 1\) y \(y = 2\) en la Ecuación (1) original:
\[ 1 + 2 + z = 6 \]
\[ \implies 3 + z = 6 \]
\[ \implies z = 3 \]
Resultado final: \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\).
🎯 Consejos Prácticos para Resolver Sistemas 3x3
Mantener el control del procedimiento es clave para evitar confusiones al trabajar con muchas variables:
- Etiqueta todo desde el inicio: Nombra tus ecuaciones originales como (1), (2) y (3), y a las ecuaciones resultantes del sistema 2x2 como (A) y (B). Esto evita perder la secuencia de cálculo.
- Selecciona la variable más sencilla: Antes de empezar, observa cuál incógnita tiene coeficientes iguales a \(1\) o \(-1\), o signos opuestos ya listos para cancelar.
- Aprovecha las ecuaciones incompletas: Si alguna ecuación original no contiene una de las variables (por ejemplo, carece de \(z\)), elige eliminar esa misma variable (\(z\)) con las otras dos ecuaciones para obtener tu sistema 2x2 más rápido.
- Verificación final completa: Al terminar, comprueba los valores obtenidos sustituyéndolos en las TRES ecuaciones originales. Un resultado correcto debe cumplir las tres igualdades.
📝 Bloque de Práctica: 10 Ejercicios de Sistemas 3x3
Resuelve cada ejercicio paso a paso en tu libreta y despliega la solución para verificar tu procedimiento.
Ejercicio 1: Eliminación Directa por Suma
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2x + 3y + z = 9 \\ x - y + 2z = 1 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Restamos la Ecuación (1) de la Ecuación (2) para eliminar \(z\):
\[ (2x - x) + (3y - y) + (z - z) = 9 - 4 \]
\[ \implies x + 2y = 5 \quad \text{--- (A)} \]
2. Multiplicamos la Ecuación (1) por \(2\):
\[ 2(x + y + z = 4) \]
\[ \implies 2x + 2y + 2z = 8 \]
3. Restamos la Ecuación (1) con la (3):
\[ (2x - x) + (2y - (-y)) + (2z - 2z) = 8 - 1 \]
\[ \implies x + 3y = 7 \quad \text{--- (B)} \]
4. Restamos la ecuación (A) de la ecuación (B):
\[ (x - x) + (3y - 2y) = 7 - 5 \]
\[ \implies y = 2 \]
5. Sustituimos \(y = 2\) en (A):
\[x + 2(2) = 5 \implies x = 1\]
6. Sustituimos \(x = 1\) y \(y = 2\) en la Ecuación (1):
\[1 + 2 + z = 4 \implies z = 1\]
Resultado: \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 1\).
Ejercicio 2: Sistema con Términos de Signo Opuesto
Resuelve el siguiente sistema:
\[ \begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2x - y - z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Sumamos la Ecuación (1) y la Ecuación (2) directamente:
\[ (x + 2x) + (y - y) + (z - z) = 4 + 2 \]
\[ \implies 3x = 6 \implies x = 2 \]
2. Restamos la Ecuación (1) menos la Ecuación (3):
\[ (x - x) + (y - 2y) + (z - z) = 4 - 3 \]
\[ \implies -y = 1 \implies y = -1 \]
3. Sustituimos \(x = 2\) y \(y = -1\) en la Ecuación (1):
\[ 2 + (-1) + z = 4 \]
\[ \implies 1 + z = 4 \implies z = 3 \]
Resultado: \(x = 2\), \(y = -1\), \(z = 3\).
Ejercicio 3: Eliminación de Variable en Cadena
Resuelve el siguiente sistema:
\[ \begin{cases} x + 2y - z = 7 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + y + z = 2 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Sumamos la Ecuación (2) y la Ecuación (3) para eliminar \(y\):
\[ (2x + x) + (-y + y) + (z + z) = 3 + 2 \]
\[ \implies 3x + 2z = 5 \quad \text{--- (A)} \]
2. Restamos la Ecuación (1) menos el doble de la Ecuación (3):
\[ 2(x + y + z = 2) \implies 2x + 2y + 2z = 4 \]
\[ (x - 2x) + (2y - 2y) + (-z - 2z) = 7 - 4 \]
\[ \implies -x - 3z = 3 \quad \text{--- (B)} \]
3. Multiplicamos la ecuación (B) por \(3\) y sumamos con (A):
\[ 3(-x - 3z = 3) \implies -3x - 9z = 9 \]
\[ (3x - 3x) + (2z - 9z) = 5 + 9 \]
\[ \implies -7z = 14 \implies z = -2 \]
4. De la ecuación (A):
\[3x + 2(-2) = 5 \implies 3x - 4 = 5\]
\[\implies 3x = 9 \implies x = 3\]
5. De la Ecuación (3):
\[3 + y + (-2) = 2\]
\[\implies y + 1 = 2 \implies y = 1\]
Resultado: \(x = 3\), \(y = 1\), \(z = -2\).
Ejercicio 4: Resultados Unitarios
Resuelve el siguiente sistema:
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 2 \\ x - 3y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 6 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Sumamos la Ecuación (1) y la Ecuación (3) para eliminar \(z\):
\[ (2x + 3x) + (y + 2y) + (-z + z) = 2 + 6 \]
\[ \implies 5x + 3y = 8 \quad \text{--- (A)} \]
2. Multiplicamos la Ecuación (1) por \(2\):
\[ 2(2x + y - z = 2) \]
\[ \implies 4x + 2y - 2z = 4 \]
3. Sumamos la Ecuación (1) con la (2):
\[ (4x + x) + (2y - 3y) + (-2z + 2z) = 4 + 0 \]
\[ \implies 5x - y = 4 \quad \text{--- (B)} \]
4. Restamos la ecuación (B) de la ecuación (A):
\[ (5x - 5x) + (3y - (-y)) = 8 - 4 \]
\[ \implies 4y = 4 \implies y = 1 \]
5. De la ecuación (B):
\[5x - 1 = 4 \implies 5x = 5\]
\[\implies x = 1\]
6. De la Ecuación (1):
\[2(1) + 1 - z = 2\]
\[\implies 3 - z = 2 \implies z = 1\]
Resultado: \(x = 1\), \(y = 1\), \(z = 1\).
Ejercicio 5: Ecuaciones Incompletas (Falta de una Variable)
Resuelve el siguiente sistema aprovechando la estructura de las ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 3 \\ x + y + z = 7 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Observa que la Ecuación (1) nos da la expresión completa para \(x + y = 2\).
2. Sustituimos \(x + y = 2\) directamente dentro de la Ecuación (3):
\[ (x + y) + z = 7 \]
\[ \implies 2 + z = 7 \implies z = 5 \]
3. Sustituimos \(z = 5\) en la Ecuación (2):
\[ y + 5 = 3 \implies y = 3 - 5 \]
\[ \implies y = -2 \]
4. Sustituimos \(y = -2\) en la Ecuación (1):
\[ x + (-2) = 2 \implies x = 2 + 2 \]
\[ \implies x = 4 \]
Resultado: \(x = 4\), \(y = -2\), \(z = 5\).
Ejercicio 6: Sistema con Soluciones Negativas
Resuelve el siguiente sistema:
\[ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = -4 \\ 3x + 2y - z = -1 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Sumamos la Ecuación (1) y la Ecuación (2) para eliminar \(y\):
\[ (x + 2x) + (y - y) + (z + 3z) = 2 + (-4) \]
\[ \implies 3x + 4z = -2 \quad \text{--- (A)} \]
2. Multiplicamos la Ecuación (2) por \(2\) y sumamos con la Ecuación (3):
\[ 2(2x - y + 3z = -4) \implies 4x - 2y + 6z = -8 \]
\[ (3x + 4x) + (2y - 2y) + (-z + 6z) = -1 + (-8) \]
\[ \implies 7x + 5z = -9 \quad \text{--- (B)} \]
3. Multiplicamos (A) por \(7\) y (B) por \(3\) para igualar los coeficientes de \(x\):
\[ 7(3x + 4z = -2) \implies 21x + 28z = -14 \]
\[ 3(7x + 5z = -9) \implies 21x + 15z = -27 \]
Restamos ambas ecuaciones:
\[13z = 13 \implies z = 1\]
4. De la ecuación (A):
\[3x + 4(1) = -2 \implies 3x = -6\]
\[\implies x = -2\]
5. De la Ecuación (1):
\[-2 + y + 1 = 2 \implies y - 1 = 2\]
\[\implies y = 3\]
Resultado: \(x = -2\), \(y = 3\), \(z = 1\).
Ejercicio 7: Presencia de Cero como Valor de una Incógnita
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + 3y - z = 3 \\ 2x - y + 2z = 2 \\ 3x + y + z = 5 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Sumamos la Ecuación (2) y la Ecuación (3) para eliminar \(y\):
\[ (2x + 3x) + (-y + y) + (2z + z) = 2 + 5 \]
\[ \implies 5x + 3z = 7 \quad \text{--- (A)} \]
2. Restamos la Ecuación (1) menos tres veces la Ecuación (3):
\[ 3(3x + y + z = 5) \implies 9x + 3y + 3z = 15 \]
\[ (x - 9x) + (3y - 3y) + (-z - 3z) = 3 - 15 \]
\[ \implies -8x - 4z = -12 \quad \text{/ :(-4)} \]
\[ \implies 2x + z = 3 \quad \text{--- (B)} \]
3. Despejamos \(z\) de la ecuación (B): \(z = 3 - 2x\) y sustituimos en (A):
\[ 5x + 3(3 - 2x) = 7 \]
\[ \implies 5x + 9 - 6x = 7 \]
\[ \implies -x = -2 \implies x = 2 \]
4. De la ecuación (B):
\[z = 3 - 2(2) = -1\]
5. De la Ecuación (3):
\[3(2) + y + (-1) = 5\]
\[\implies 5 + y = 5 \implies y = 0\]
Resultado: \(x = 2\), \(y = 0\), \(z = -1\).
Ejercicio 8: Combinación con Términos Positivos y Negativos
Resuelve el siguiente sistema:
\[ \begin{cases} 2x - y + 3z = 11 \\ x + 2y - z = -7 \\ 3x + y + z = 2 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Sumamos la Ecuación (2) y la Ecuación (3) para eliminar \(z\):
\[ (x + 3x) + (2y + y) + (-z + z) = -7 + 2 \]
\[ \implies 4x + 3y = -5 \quad \text{--- (A)} \]
2. Sumamos la Ecuación (1) con tres veces la Ecuación (2):
\[ 3(x + 2y - z = -7) \implies 3x + 6y - 3z = -21 \]
\[ (2x + 3x) + (-y + 6y) + (3z - 3z) = 11 + (-21) \]
\[ \implies 5x + 5y = -10 \quad \text{/ :5} \]
\[ \implies x + y = -2 \quad \text{--- (B)} \]
3. Despejamos \(y = -2 - x\) en (B) y sustituimos en (A):
\[ 4x + 3(-2 - x) = -5 \]
\[ \implies 4x - 6 - 3x = -5 \implies x = 1 \]
4. De la ecuación (B):
\[y = -2 - 1 = -3\]
5. De la Ecuación (3):
\[3(1) + (-3) + z = 2 \implies z = 2\]
Resultado: \(x = 1\), \(y = -3\), \(z = 2\).
Ejercicio 9: Soluciones Fraccionarias
Resuelve el siguiente sistema:
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 9 \\ 2x + y + 3z = 14 \\ 3x + y + z = 10 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
1. Restamos la Ecuación (1) de la Ecuación (3) para eliminar \(z\):
\[ (3x - x) + (y - 2y) + (z - z) = 10 - 9 \]
\[ \implies 2x - y = 1 \quad \text{--- (A)} \]
2. Restamos tres veces la Ecuación (1) de la Ecuación (2):
\[ 3(x + 2y + z = 9) \implies 3x + 6y + 3z = 27 \]
\[ (2x - 3x) + (y - 6y) + (3z - 3z) = 14 - 27 \]
\[ \implies -x - 5y = -13 \quad \text{--- (B)} \]
3. Multiplicamos (B) por \(2\) y sumamos con (A):
\[ 2(-x - 5y = -13) \implies -2x - 10y = -26 \]
\[ (2x - 2x) + (-y - 10y) = 1 - 26 \]
\[ \implies -11y = -25 \]
\[ \implies y = \frac{25}{11} \]
4. De la ecuación (A):
\[2x - \frac{25}{11} = 1 \implies 2x = \frac{36}{11}\]
\[\implies x = \frac{18}{11}\]
5. De la Ecuación (1):
\[\frac{18}{11} + 2\left(\frac{25}{11}\right) + z = 9\]
\[ \implies \frac{68}{11} + z = 9\]
\[\implies z = \frac{31}{11} \]
Resultado: \(x = {\Large \frac{18}{11}}\), \(y = {\Large \frac{25}{11}}\), \(z = {\Large \frac{31}{11}}\).
Ejercicio 10: Sistema con Tres Ecuaciones en Diferente Orden
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} y + z + x = 9 \\ x + 3z = 20 - 2y \\ 2x + z + 3y = 17 \end{cases} \]
Procedimiento paso a paso:
Se observa que las 3 ecuaciones no están ordenadas, reescribimos en el orden \(x\), \(y\), \(z\):
\[ \begin{cases} x + y + z = 9 \\ x + 2y + 3z = 20 \\ 2x + 3y + z = 17 \end{cases} \]
1. Restamos la Ecuación (1) de la Ecuación (2) para eliminar \(x\):
\[ (x - x) + (2y - y) + (3z - z) = 20 - 9 \]
\[ \implies y + 2z = 11 \quad \text{--- (A)} \]
2. Restamos el doble de la Ecuación (1) de la Ecuación (3) para eliminar \(x\):
\[ 2(x + y + z = 9) \implies 2x + 2y + 2z = 18 \]
\[ (2x - 2x) + (3y - 2y) + (z - 2z) = 17 - 18 \]
\[ \implies y - z = -1 \quad \text{--- (B)} \]
3. Restamos la ecuación (B) de la ecuación (A):
\[ (y - y) + (2z - (-z)) = 11 - (-1) \]
\[ \implies 3z = 12 \implies z = 4 \]
4. Sustituimos \(z = 4\) en la ecuación (B):
\[y - 4 = -1 \implies y = 3\]
5. Sustituimos \(y = 3\) y \(z = 4\) en la Ecuación (1):
\[x + 3 + 4 = 9 \implies x + 7 = 9\]
\[\implies x = 2\]
Resultado: \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = 4\).
⚠️ Errores Comunes al Resolver Sistemas 3x3
- Eliminar variables distintas en el primer paso: Si eliminas la variable \(z\) al combinar la Ecuación (1) y la (2), debes eliminar obligatoriamente la misma variable \(z\) al combinar otro par de ecuaciones. Si eliminas una variable diferente, obtendrás un sistema desordenado sin solución directa.
- Olvidar distribuir los signos negativos: Al multiplicar una ecuación entera por un número negativo (por ejemplo, por \(-2\)), asegúrate de cambiar el signo de cada término, incluyendo el número que está a la derecha del signo igual.
- Probar la solución en una sola ecuación: Un conjunto de valores numéricos puede satisfacer la primera ecuación por casualidad aunque contenga errores de cálculo. La única garantía de éxito es verificar los tres valores en las tres ecuaciones iniciales.
Preguntas Frecuentes
¿Puedo elegir cualquier variable para eliminar al inicio?
Sí, la respuesta final será exactamente la misma independientemente de la variable que decidas eliminar primero. La recomendación es elegir la variable cuyos coeficientes resulten más sencillos de operar.
¿Es obligatorio usar el método de reducción en sistemas 3x3?
No es obligatorio, pero es el método más rápido y con menor probabilidad de error aritmético. También existen otros métodos algebraicos como sustitución o determinantes (Regla de Sarrus).
¿Qué ocurre si durante el procedimiento se eliminan todas las variables?
Al igual que en los sistemas 2x2, si obtienes una contradicción (como \(0 = 8\)), el sistema no tiene solución. Si obtienes una igualdad verdadera (como \(0 = 0\)), el sistema tiene infinitas soluciones.
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