Ejercicios Resueltos de Inecuaciones Cuadráticas
Las inecuaciones cuadráticas o de segundo grado comparan una expresión de la forma ax² + bx + c con cero. A diferencia de las lineales, sus cambios de signo requieren analizar la expresión cuadrática mediante el método de los puntos críticos y la evaluación de signos.
El Método de los Puntos Críticos
Una inecuación cuadrática se presenta en cualquiera de las siguientes formas estándar:
\[ ax^2 + bx + c < 0 \quad \text{o} \quad ax^2 + bx + c > 0 \]
\[ ax^2 + bx + c \le 0 \quad \text{o} \quad ax^2 + bx + c \ge 0 \]
donde \(a \neq 0\). Para resolverla de manera sistemática se aplica el método de puntos críticos:
- Transposición e Igualación a Cero: Mueve todos los términos a un solo lado de la desigualdad de modo que el otro miembro sea estrictamente cero.
- Hallar los Puntos Críticos (Raíces): Factoriza el trinomio en binomios de primer grado para encontrar los ceros de la expresión (\(ax^2 + bx + c = 0\)).
- División de la Recta Real: Ubica las raíces obtenidas en la recta numérica. Estos valores dividen la recta en dos o tres intervalos independientes.
- Tabla de Signos / Valores de Prueba: Determina el signo del trinomio en cada intervalo tomando un número de prueba o analizando la multiplicación de los factores.
- Selección del Intervalo Solución:
- Si la inecuación pide valores mayores que cero (\(> 0\) o \(\ge 0\)), la solución corresponde a los intervalos con signo positivo (+).
- Si la inecuación pide valores menores que cero (\(< 0\) o \(\le 0\)), la solución corresponde a los intervalos con signo negativo (-).
🎯 Trucos de Agilidad para Inecuaciones Cuadráticas
Acelera la resolución de desigualdades de 2º grado con estas reglas intuitivas:
- Asegura siempre un coeficiente principal positivo (\(a > 0\)): Si tienes un término cuadrático negativo (como \(-x^2 + 5x - 6 > 0\)), multiplica toda la inecuación por \(-1\) e invierte la desigualdad (\(x^2 - 5x + 6 < 0\)). Esto estandariza tus análisis.
- La Regla de Signos \(+ / - / +\) para \(a > 0\): Si el coeficiente de \(x^2\) es positivo y existen dos raíces reales distintas \(r_1 < r_2\), los intervalos en la recta siempre alternan signos en el orden: positivo, negativo, positivo (\(+, -, +\)).
📝 Bloque de Práctica: 10 Casos de Inecuaciones 2º Grado
Practica desde inecuaciones cuadráticas básicas hasta casos particulares con raíces dobles y discriminante negativo:
Ejercicio 1: Inecuación Cuadrática Estándar (\(<\))
Resuelve la inecuación: \[x^2 - 5x + 6 < 0\]
1) Factorizar el trinomio: Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den \(-5\).
\[ (x - 2)(x - 3) < 0 \]
2) Identificar los puntos críticos: Igualamos cada factor a cero.
\[ x = 2 \quad \text{y} \quad x = 3 \]
3) Evaluar el signo en cada intervalo: Los intervalos generados son \(]-\infty, 2[\), \(]2, 3[\) y \(]3, +\infty[\).
Para \(x=0\) en \(]-\infty, 2[\): \[0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0\]
Para \(x=2{,}5\) en \(]2, 3[\): \[2{,}5^2 - 5(2{,}5) + 6 = -0{,}25 < 0\]
Para \(x=4\) en \(]3, +\infty[\): \[4^2 - 5(4) + 6 = 2 > 0\]
El orden de signos es: \(+\) en \(]-\infty, 2[\), \(-\) en \(]2, 3[\), y \(+\) en \(]3, +\infty[\).
4) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores estrictamente menores que cero (\(< 0\)), por lo que tomamos la región negativa.
Solución en Intervalo: \(]2, 3[\)
Ejercicio 2: Inecuación con Desigualdad No Estricta (\(\ge\))
Resuelve la desigualdad: \[x^2 - 3x - 10 \ge 0\]
1) Factorizar el trinomio:
\[ (x - 5)(x + 2) \ge 0 \]
2) Determinar los puntos críticos:
\[ x = 5 \quad \text{y} \quad x = -2 \]
3) Evaluar el signo en cada intervalo: Los intervalos generados son \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 5[\) y \(]5, +\infty[\).
Para \(x=-3\) en \(]-\infty, -2[\): \[(-3)^2 - 3(-3) - 10 = 8 > 0\]
Para \(x=0\) en \(]-2, 5[\): \[0^2 - 3(0) - 10 = -10 < 0\]
Para \(x=6\) en \(]5, +\infty[\): \[6^2 - 3(6) - 10 = 8 > 0\]
Los signos de cada intervalo son:
Intervalo \(]-\infty, -2[\): Signo positivo (+).
Intervalo \(]-2, 5[\): Signo negativo (-).
Intervalo \(]5, +\infty[\): Signo positivo (+).
4) Seleccionar la solución: La inecuación busca valores mayores o iguales a cero (\(\ge 0\)), por lo que se incluyen los puntos críticos mediante corchetes.
Solución en Intervalo: \(]-\infty, -2] \cup [5, +\infty[\)
Ejercicio 3: Diferencia de Cuadrados
Resuelve: \[x^2 - 9 > 0\]
1) Factorizar como diferencia de cuadrados:
\[ (x - 3)(x + 3) > 0 \]
2) Obtener los puntos críticos:
\[ x = 3 \quad \text{y} \quad x = -3 \]
3) Evaluar el signo en cada intervalo: Los intervalos generados son \(]-\infty, -3[\), \(]-3, 3[\) y \(]3, +\infty[\).
Para \(x=-4\) en \(]-\infty, -3[\): \[(-4)^2 - 9 = 7 > 0\]
Para \(x=0\) en \(]-3, 3[\): \[0^2 - 9 = -9 < 0\]
Para \(x=4\) en \(]3, +\infty[\): \[4^2 - 9 = 7 > 0\]
Los signos de cada intervalo son:
Intervalo \(]-\infty, -3[\): Signo positivo (+).
Intervalo \(]-3, 3[\): Signo negativo (-).
Intervalo \(]3, +\infty[\): Signo positivo (+).
4) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores estrictamente mayores que cero, por lo que unimos las regiones positivas.
Solución en Intervalo: \(]-\infty, -3[ \cup ]3, +\infty[\)
Ejercicio 4: Inecuación sin Término Independiente
Resuelve la desigualdad: \[x^2 - 4x \le 0\]
1) Extraer factor común \(x\):
\[ x(x - 4) \le 0 \]
2) Identificar los puntos críticos:
\[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 4 \]
3) Evaluar el signo en cada intervalo: Los intervalos generados son \(]-\infty, 0[\), \(]0, 4[\) y \(]4, +\infty[\).
Para \(x=-1\) en \(]-\infty, 0[\): \[(-1)^2 - 4(-1) = 5 > 0\]
Para \(x=1\) en \(]0, 4[\): \[1^2 - 4(1) = -3 < 0\]
Para \(x=5\) en \(]4, +\infty[\): \[5^2 - 4(5) = 5 > 0\]
Los signos de cada intervalo son:
Intervalo \(]-\infty, 0[\): Signo positivo (+).
Intervalo \(]0, 4[\): Signo negativo (-).
Intervalo \(]4, +\infty[\): Signo positivo (+).
4) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores menores o iguales a cero, por lo que tomamos la región negativa. Al ser no estricta (\(\le\)), se incluyen los extremos.
Solución en Intervalo: \([0, 4]\)
Ejercicio 5: Coeficiente Cuadrático Negativo (\(a < 0\))
Resuelve: \[-x^2 + 6x - 8 > 0\]
1) Multiplicar toda la inecuación por \(-1\) e invertir la desigualdad:
\[ x^2 - 6x + 8 < 0 \]
2) Factorizar el trinomio equivalente:
\[ (x - 2)(x - 4) < 0 \]
3) Obtener los puntos críticos:
\[ x = 2 \quad \text{y} \quad x = 4 \]
4) Evaluar el signo en cada intervalo: Los intervalos generados son \(]-\infty, 2[\), \(]2, 4[\) y \(]4, +\infty[\).
Para \(x=0\) en \(]-\infty, 2[\): \[0^2 - 6(0) + 8 = 8 > 0\]
Para \(x=3\) en \(]2, 4[\): \[3^2 - 6(3) + 8 = -1 < 0\]
Para \(x=5\) en \(]4, +\infty[\): \[5^2 - 6(5) + 8 = 3 > 0\]
Los signos de cada intervalo son:
Intervalo \(]-\infty, 2[\): Signo positivo (+).
Intervalo \(]2, 4[\): Signo negativo (-).
Intervalo \(]4, +\infty[\): Signo positivo (+).
5) Seleccionar la solución: La inecuación, al invertir la desigualdad, pide valores estrictamente menores a cero, por lo que tomamos la región negativa.
Solución en Intervalo: \(]2, 4[\)
Ejercicio 6: Coeficiente Principal Distinto de 1 (\(a \neq 1\))
Resuelve la inecuación: \[2x^2 + 5x - 3 \le 0\]
1) Hallar los puntos críticos mediante la fórmula cuadrática:
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} \]
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} \]
\[ x = \frac{-5 \pm 7}{4} \]
Puntos críticos: \(x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) y \(x = \frac{-12}{4} = -3\).
2) Factorización equivalente:
\[ 2(x + 3)\left(x - \frac{1}{2}\right) \le 0 \]
3) Evaluar el signo en cada intervalo: Los intervalos generados son \(]-\infty, -3[\), \(]-3, \frac{1}{2}[\) y \(]\frac{1}{2}, +\infty[\).
Para \(x=-4\) en \(]-\infty, -3[\): \[2(-4)^2 + 5(-4) - 3 = 9 > 0\]
Para \(x=0\) en \(]-3, \frac{1}{2}[\): \[2(0)^2 + 5(0) - 3 = -3 < 0\]
Para \(x=1\) en \(]\frac{1}{2}, +\infty[\): \[2(1)^2 + 5(1) - 3 = 4 > 0\]
Los signos de cada intervalo son:
Intervalo \(]-\infty, -3[\): Signo positivo (+).
Intervalo \(]-3, \frac{1}{2}[\): Signo negativo (-).
Intervalo \(]\frac{1}{2}, +\infty[\): Signo positivo (+).
4) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores menores o iguales a cero, por lo que tomamos la región negativa junto con los puntos críticos.
Solución en Intervalo: \(\left[-3, \frac{1}{2}\right]\)
Ejercicio 7: Expresión con Paréntesis y Desarrollo Cuadrático
Resuelve: \[(x - 5)^2 > 9\]
1) Desarrollar el binomio al cuadrado:
\[ x^2 - 10x + 25 > 9 \]
2) Igualar a cero trasladando constantes:
\[ x^2 - 10x + 16 > 0 \]
3) Factorizar:
\[ (x - 2)(x - 8) > 0 \]
4) Obtener los puntos críticos:
\[ x = 2 \quad \text{y} \quad x = 8 \]
5) Evaluar el signo en cada intervalo: Los intervalos generados son \(]-\infty, 2[\), \(]2, 8[\) y \(]8, +\infty[\).
Para \(x=0\) en \(]-\infty, 2[\): \[0^2 - 10(0) + 16 = 16 > 0\]
Para \(x=3\) en \(]2, 8[\): \[3^2 - 10(3) + 16 = -5 < 0\]
Para \(x=9\) en \(]8, +\infty[\): \[9^2 - 10(9) + 16 = 7 > 0\]
Los signos de cada intervalo son:
Intervalo \(]-\infty, 2[\): Signo positivo (+).
Intervalo \(]2, 8[\): Signo negativo (-).
Intervalo \(]8, +\infty[\): Signo positivo (+).
6) Seleccionar la solución: La inecuación pide valores estrictamente mayores a cero, por lo que unimos las regiones positivas.
Solución en Intervalo: \(]-\infty, 2[ \cup ]8, +\infty[\)
Ejercicio 8: Caso Particular con Trinomio Cuadrado Perfecto (Raíz Doble)
Resuelve la desigualdad: \[x^2 - 6x + 9 \le 0\]
1) Factorizar como cuadrado de un binomio:
\[ (x - 3)^2 \le 0 \]
2) Analizar el comportamiento del cuadrado: Todo número real elevado al cuadrado resulta mayor o igual a cero (\(a^2 \ge 0\)). La única manera de satisfacer la desigualdad \(\le 0\) es cuando la expresión vale exactamente cero.
3) Resolver la igualdad a cero:
\[ x - 3 = 0 \]
\[ x = 3 \]
Solución: \(x = \{3\}\) (un único punto real satisface la inecuación).
Ejercicio 9: Caso Especial con Discriminante Negativo (\(\Delta < 0\)) y Mayor que Cero
Resuelve: \[x^2 + 2x + 5 > 0\]
1) Calcular el discriminante (\(\Delta = b^2 - 4ac\)):
\[ \Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \]
2) Interpretación analítica: Como \(\Delta < 0\), la ecuación cuadrática no posee raíces reales. Como el coeficiente principal \(a = 1 > 0\), la cuadrática es siempre positiva para cualquier número real.
3) Conclusión: La expresión es estrictamente positiva para cualquier valor real de \(x\), por lo que la inecuación es válida para cualquier número real.
Solución en Intervalo: \(\mathbb{R}\) o \(]-\infty, +\infty[\)
Ejercicio 10: Caso Especial con Discriminante Negativo y Menor que Cero
Resuelve: \[x^2 + 4x + 6 < 0\]
1) Evaluar el discriminante:
\[ \Delta = 4^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8 \]
2) Análisis geométrico: Dado que \(\Delta < 0\) y \(a = 1 > 0\), la cuadrática es siempre positiva para cualquier número real. Por lo tanto, nunca tomará un valor menor que cero.
3) Conclusión: No existe ningún número real que satisfaga la inecuación.
Solución: \(\emptyset\) (conjunto vacío).
⚠️ Errores Comunes en Inecuaciones Cuadráticas
- Intentar despejar la variable aplicando raíz cuadrada directamente: Al encontrarse con \(x^2 > 9\), tomar raíz en ambos lados para concluir erróneamente \(x > 3\), omitiendo por completo el intervalo negativo \(x < -3\).
- No igualar a cero antes de factorizar: Intentar factorizar expresiones como \(x^2 - 5x < 6\) como \(x(x - 5) < 6\) e igualar falsamente cada factor a 6. El método de puntos críticos solo funciona comparando contra cero.
- Aplicar la secuencia de signos \(+ / - / +\) con coeficiente principal negativo (\(a < 0\)): Asumir que la cuadrática es siempre positiva sin haber ajustado el signo de \(x^2\) mediante la multiplicación por \(-1\).
Preguntas Frecuentes
¿Por qué el patrón de signos entre dos raíces siempre es + / - / + cuando a > 0?
Porque una función cuadrática con coeficiente principal positivo representa una parábola que abre hacia arriba. Los extremos hacia \(+\infty\) y \(-\infty\) están por encima del eje X (regiones +), mientras que la sección comprendida entre sus dos raíces se halla por debajo del eje X (región -).
¿Cómo se evalúa la tabla de signos mediante un número de prueba?
Eliges un número fácil de calcular dentro de cada intervalo generado por los puntos críticos (por ejemplo, el cero si está disponible) y lo sustituyes en el trinomio factorizado. El signo del resultado matemático indica el signo de todo ese intervalo.
¿Qué ocurre si la inecuación cuadrática tiene una sola raíz real (\(\Delta = 0\))?
Significa que la parábola solo toca el eje X en un punto. Para \(\ge 0\), la solución es todo \(\mathbb{R}\); para \(> 0\), son todos los reales excepto la raíz; para \(\le 0\), únicamente la raíz; y para \(< 0\), el conjunto vacío \(\emptyset\).
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