Ejercicios Resueltos de Suma y Resta de Raíces Semejantes

Verificamos que los radicales son perfectamente semejantes (ambos son \( \sqrt{7} \)). Operamos de forma exclusiva los coeficientes externos:

\[ (4 + 3)\sqrt{7} \]

Resultado final: \[ 7\sqrt{7} \]

Hacemos explícito el coeficiente de unidad flotante de cada una de las raíces del ejercicio:

\[ 1\sqrt{5} + 1\sqrt{5} + 1\sqrt{5} \]

Agrupamos los tres coeficientes enteros en una única operación aditiva directa:

\[ (1 + 1 + 1)\sqrt{5} \]

Resultado final: \[ 3\sqrt{5} \]

Los términos comparten de manera idéntica la raíz cúbica de \( x \). Operamos los coeficientes respetando la ley de los signos para números enteros:

\[ (2 - 8)\sqrt[3]{x} \]

Resultado final: \[ -6\sqrt[3]{x} \]

Identificamos que solo los términos que contienen \( \sqrt{2} \) son semejantes entre sí. Los reordenamos en el espacio para agruparlos:

\[ (5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + 3\sqrt{3} \]

Restamos los coeficientes de las raíces cuadradas de dos, manteniendo el término de raíz de tres intacto al final:

Resultado final: \[ 3\sqrt{2} + 3\sqrt{3} \]

Los radicandos no coinciden. Descomponemos ambas estructuras numéricas de manera independiente en factores primos cuadrados:

• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)

Reemplazamos las expresiones simplificadas semejantes dentro de nuestra resta principal:

\[ 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3 - 2)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} \]

Resultado final: \[ \sqrt{2} \]

Extraemos factores de las dos primeras raíces grandes para buscar la semejanza armónica con el último término:

• \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)
• \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \)

Sustituimos en la cadena operativa recordando el coeficiente unitario del término final:

\[ 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 1\sqrt{5} \]

Agrupamos la totalidad de los valores numéricos exteriores: \( 2 + 3 - 1 = 4 \):

Resultado final: \[ 4\sqrt{5} \]

Las raíces son semejantes. Agrupamos los coeficientes fraccionarios homogéneos (mismo denominador) en una única estructura:

\[ \left( {\Large \tfrac{1}{2}} + {\Large \tfrac{3}{2}} \right)\sqrt{3} = {\Large \tfrac{4}{2}}\sqrt{3} \]

Simplificamos la fracción resultante dividiendo de forma exacta el numerador entre el denominador:

Resultado final: \[ 2\sqrt{3} \]

Al tener índice tres, descomponemos buscando potencias cúbicas perfectas dentro de los números:

• \( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2\sqrt[3]{2} \)
• \( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} = 3\sqrt[3]{2} \)

Sumamos las expresiones resultantes que ahora sí comparten el bloque semejante \( \sqrt[3]{2} \):

\[ 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2} = (2 + 3)\sqrt[3]{2} \]

Resultado final: \[ 5\sqrt[3]{2} \]

El bloque radical \( \sqrt{a} \) y el factor literal \( x \) son idénticos en ambos lados. Todo el conjunto \( x\sqrt{a} \) funciona como el término semejante. Operamos los enteros:

\[ (7 - 3)x\sqrt{a} \]

Resultado final: \[ 4x\sqrt{a} \]

Descomponemos los radicandos de los números más grandes buscando términos compatibles con la raíz de dos:

• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \)

Reensamblamos toda la línea de la ecuación combinando los coeficientes resultantes con el término final:

\[ 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \]

Efectuamos la suma y resta lineal exterior: \( 5 + 6 = 11 \); \( 11 - 2 = 9 \):

Resultado final: \[ 9\sqrt{2} \]