Ejercicios Resueltos de Ecuaciones con Valor Absoluto
Las ecuaciones con valor absoluto se resuelven teniendo en cuenta que una expresión dentro de las barras puede ser positiva o negativa, mientras que su valor absoluto siempre es no negativo. En esta guía encontrarás 10 ejercicios resueltos paso a paso, desde casos básicos hasta ecuaciones que requieren comprobar las soluciones.
¿Cómo Resolver Ecuaciones con Valor Absoluto?
El valor absoluto de una expresión representa su distancia al cero en la recta numérica. Por eso, dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto:
\[|5|=5 \qquad |-5|=5\]
Para resolver una ecuación de la forma:
\[|A(x)|=k\]
Si \(k\) es positivo, se plantean dos ecuaciones: una con la expresión interior positiva y otra con la expresión interior negativa.
\[A(x)=k \qquad \text{o} \qquad A(x)=-k\]
¿Qué ocurre según el valor del segundo miembro?
- Si \(k>0\): pueden existir dos soluciones, una solución o ninguna, dependiendo de la ecuación.
- Si \(k=0\): la ecuación se reduce a \(A(x)=0\).
- Si \(k<0\): no existen soluciones reales, porque un valor absoluto nunca es negativo.
Propiedad del valor absoluto: Cuando el segundo miembro también contiene la incógnita, como en \(|A(x)|=B(x)\), primero debemos considerar que \(B(x)\) tiene que ser mayor o igual que cero. Después resolvemos los dos casos y comprobamos las soluciones obtenidas.
🎯 Trucos de Agilidad para Resolver Ecuaciones con Valor Absoluto
Aplica estos consejos para identificar rápidamente el procedimiento correcto:
- Separa los dos casos: cuando tienes \(|A(x)|=k\), con \(k>0\), plantea directamente \(A(x)=k\) y \(A(x)=-k\).
- Comprueba el signo del segundo miembro: si una ecuación tiene la forma \(|A(x)|=B(x)\), verifica que \(B(x)\geq 0\). Esto permite descartar soluciones imposibles.
- Si el valor absoluto es cero, no necesitas dos casos: de \(|A(x)|=0\) se deduce directamente que \(A(x)=0\).
- Cuando hay dos valores absolutos iguales: en \(|A(x)|=|B(x)|\), puedes resolver \(A(x)=B(x)\) o \(A(x)=-B(x)\).
- Comprueba siempre las soluciones: sustituye cada resultado en la ecuación original, especialmente cuando la incógnita aparece fuera del valor absoluto.
📝 Bloque de Práctica: 10 Ejercicios Resueltos de Valor Absoluto
Resuelve cada ecuación siguiendo los pasos indicados. Los ejercicios aumentan progresivamente en dificultad e incluyen casos con dos soluciones, una solución y ninguna solución real.
Ejercicio 1: Valor Absoluto Básico
Resuelve la ecuación: \[|x|=5\]
Planteamiento de los dos casos: la expresión dentro del valor absoluto puede ser igual a 5 o a -5.
\[x=5 \qquad \text{o} \qquad x=-5\]
Soluciones:
\[x_1=5 \qquad x_2=-5\]
Comprobación: tanto \(|5|=5\) como \(|-5|=5\).
Ejercicio 2: Valor Absoluto de un Binomio
Resuelve la ecuación: \[|x-3|=4\]
Primer caso: igualamos la expresión interior a 4.
\[x-3=4 \implies x=7\]
Segundo caso: igualamos la expresión interior a -4.
\[x-3=-4 \implies x=-1\]
Comprobación: \(|7-3|=4\) y \(|-1-3|=4\).
Soluciones:
\[ x_1=7 \qquad \text{y} \qquad x_2=-1 \]
Ejercicio 3: Valor Absoluto con Coeficiente Numérico
Resuelve la ecuación: \[|2x+1|=7\]
Primer caso:
\[2x+1=7\]
\[2x=6 \implies x_1=3\]
Segundo caso:
\[2x+1=-7\]
\[2x=-8 \implies x_2=-4\]
Comprobación: \(|2(3)+1|=7\) y \(|2(-4)+1|=7\).
Soluciones:
\[ x_1=3 \qquad \text{y} \qquad x_2=-4 \]
Ejercicio 4: Valor Absoluto Igual a Cero
Resuelve la ecuación: \[|3x-6|=0\]
Propiedad del valor absoluto: un valor absoluto solo puede ser cero cuando su expresión interior es cero.
\[3x-6=0\]
\[3x=6 \implies x=2\]
Comprobación: \(|3(2)-6|=|0|=0\).
Solución única:
\[ x=2 \]
Ejercicio 5: Dos Valores Absolutos Iguales
Resuelve la ecuación: \[|x+2|=|x-4|\]
Primer caso: igualamos las expresiones interiores.
\[x+2=x-4\]
Al simplificar, obtenemos \(2=-4\), lo cual es imposible. Este caso no tiene solución.
Segundo caso: igualamos una expresión al opuesto de la otra.
\[x+2=-(x-4)\]
\[x+2=-x+4\]
\[2x=2 \implies x=1\]
Comprobación: \(|1+2|=3\) y \(|1-4|=3\).
Solución:
\[ x=1 \]
Ejercicio 6: Valor Absoluto Igual a una Expresión con x
Resuelve la ecuación: \[|2x-3|=x+3\]
Condición inicial: como el valor absoluto nunca es negativo, necesitamos que:
\[x+3\geq 0 \implies x\geq -3\]
Primer caso:
\[2x-3=x+3\]
\[x=6\]
Segundo caso:
\[-(2x-3)=x+3\]
\[-2x+3=x+3\]
\[-3x=0 \implies x=0\]
Comprobación: para \(x=6\), ambos miembros valen 9. Para \(x=0\), ambos valen 3. Las dos soluciones cumplen la condición inicial.
Soluciones:
\[ x_1=6 \qquad \text{y} \qquad x_2=0 \]
Ejercicio 7: Valor Absoluto con Solución Fraccionaria
Resuelve la ecuación: \[|x-2|=x+1\]
Condición inicial: el segundo miembro debe ser no negativo.
\[x+1\geq 0 \implies x\geq -1\]
Primer caso:
\[x-2=x+1\]
Al simplificar, resulta \(-2=1\), una igualdad imposible. No obtenemos soluciones de este caso.
Segundo caso:
\[-(x-2)=x+1\]
\[-x+2=x+1\]
\[1=2x \implies x= {\Large \tfrac{1}{2}}\]
Comprobación: \(\left|\frac{1}{2}-2\right|=\frac{3}{2}\) y \(\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\).
Solución:
\[ x={\Large \tfrac{1}{2}} \]
Ejercicio 8: Ecuación con Segundo Miembro Negativo
Resuelve la ecuación: \[|2x+4|=-2\]
Analizamos el signo: el valor absoluto de cualquier expresión es siempre mayor o igual que cero.
\[|2x+4|\geq 0\]
Por tanto, nunca puede ser igual a \(-2\).
Conclusión: la ecuación no tiene soluciones reales.
\[S=\varnothing\]
Ejercicio 9: Valor Absoluto con Término Independiente
Resuelve la ecuación: \[|x-2|+1=4\]
Aislamos el valor absoluto: restamos 1 en ambos miembros.
\[|x-2|=3\]
Primer caso:
\[x-2=3 \implies x=5\]
Segundo caso:
\[x-2=-3 \implies x=-1\]
Comprobación: para \(x=5\), \(|5-2|+1=4\). Para \(x=-1\), \(|-1-2|+1=4\).
Soluciones:
\[ x_1=5 \qquad \text{y} \qquad x_2=-1 \]
Ejercicio 10: Ecuación con una Única Solución Válida
Resuelve la ecuación: \[|x+1|=2x-1\]
Condición inicial: el segundo miembro debe ser no negativo.
\[2x-1\geq 0 \implies x\geq {\Large \tfrac{1}{2}}\]
Primer caso:
\[x+1=2x-1\]
\[x=2\]
Este resultado cumple la condición inicial.
Segundo caso:
\[-(x+1)=2x-1\]
\[-x-1=2x-1\]
\[-3x=0 \implies x=0\]
Sin embargo, \(x=0\) no cumple la condición \(x\geq \frac{1}{2}\), por lo que se descarta.
Comprobación: \(|2+1|=3\) y \(2(2)-1=3\).
Solución única:
\[ x=2 \]
⚠️ Errores Comunes al Resolver Ecuaciones con Valor Absoluto
- Olvidar el caso negativo: en \(|x|=5\), escribir solamente \(x=5\) deja fuera la solución \(x=-5\). Cuando el segundo miembro es positivo, hay que considerar ambos casos.
- Olvidar que el segundo miembro debe ser no negativo: en ecuaciones como \(|x+1|=2x-1\), hay que imponer \(2x-1\geq 0\) y descartar cualquier resultado que no cumpla esa condición.
- No comprobar las soluciones: resolver los casos por separado no garantiza que todos los resultados sean válidos cuando la incógnita también aparece fuera del valor absoluto.
Preguntas Frecuentes
¿Por qué una ecuación con valor absoluto puede tener dos soluciones?
Porque dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto. Por ejemplo, tanto \(x=4\) como \(x=-4\) cumplen \(|x|=4\). Por eso, una ecuación puede tener dos soluciones, aunque también puede tener una o ninguna.
¿Qué ocurre si el valor absoluto está igualado a un número negativo?
La ecuación no tiene soluciones reales. El valor absoluto representa una distancia y nunca puede ser menor que cero. Por ejemplo, \(|x-2|=-3\) es imposible para cualquier número real.
¿Cómo se resuelve una ecuación cuando la incógnita aparece fuera del valor absoluto?
Primero se comprueba que el segundo miembro pueda ser no negativo. Después se plantean los dos casos, se resuelven las ecuaciones resultantes y se descartan las soluciones que no cumplen la condición inicial.
¿Todas las ecuaciones con valor absoluto tienen dos soluciones?
No. Una ecuación como \(|x|=5\) tiene dos soluciones; \(|x|=0\) tiene una solución, y \(|x|=-5\) no tiene ninguna solución real. En otros casos, las condiciones de la ecuación también pueden reducir el número de soluciones válidas.
¿Cómo se resuelve una ecuación con dos valores absolutos?
Si tiene la forma \(|A(x)|=|B(x)|\), se plantean los casos \(A(x)=B(x)\) y \(A(x)=-B(x)\). Se resuelven ambas ecuaciones y se reúnen las soluciones válidas, evitando contar dos veces un mismo resultado.
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